Рекомендую!

Ещё раз о математике игры

Ещё раз о математике игры

Почему «ещё раз»? Потому что была статья о теории вероятности, была - о математике бонусов, наконец, я сделал цикл рассылок (примерно с 79 по 93) по различным аспектам математики игры. Эта статья в основном и будет опираться на материалы рассылки, с учётом того, что основы уже были даны в предыдущей статье о теорвере игр.

В предыдущей статье много внимания было посвящено законам теории вероятности (теорвер, ТВ) на примере костей. Однако, эта игра у нас здорово проигрывает в популярности рулетке. Поэтому пробежимся вкратце по основным положениям теорвера на примере этой игры. Возьмём европейскую рулетку, полагаем, что игра случайная и каждое число выпадает с вероятностью 1/37 (на колесе рулетки и игровом поле 37 чисел от 0 до 36).

Начнём с определения преимущества заведения в рулетке. Например, ставка на шансы (для примера, чёрное): всего 37 чисел, из них 18 чёрных. При выпадении чёрного вы выигрываете ставку, при выпадении красного или зеро - проигрываете ставку. Таким образом из 37 спинов у вас в среднем получится (18*1-(18+1)*1)/37=-1/37=-2,7%. Вот они, те самые "волшебные" 2,7%, которые в среднем получает заведение от ставок игроков. Цифра эта остаётся верной и для всех других ставок на рулетке, если хотите убедиться, возьмём ставку на сисклайны - вы выигрываете 5 ставок, если выпадет одно из указанных шести чисел. Опять же за 37 спинов в среднем ваши шесть чисел выпадут 6 раз и не выпадут 31 раз, итог: (6*5-31*1)/37=-1/37=-2,7%. Законы математики гласят, что в идеальной случайной рулетке (где каждое число выпадает ровно с вероятность 1/37) изменить матожидание (преимущество казино) невозможно! Никакие системы ставок не помогут, вот в этой статье даны расчёты по популярной системе Мартингейл, показывающие, что -2,7% остаются в силе.

Многие системы игры в рулетку основаны на предположении, что "не может подряд выпасть 10 красных", ну или что-то вроде. Давайте посчитаем вероятность, что выпадет именно 10 красных подряд. Вероятность выпадения красного - 18/37, каждый спин - независимое событие, поэтому вероятность выпадения двух красных подряд считается как произведение вероятностей, то есть 18/37*18/37. В общем виде формула для выпадения n красных подряд будет (18/37)^n (где ^ - знак возведения в степень). Таким образом, вероятность выпадения 10 красных подряд - (18/37)^10=0,00073=1/1347. То есть десять красных подряд выпадут примерно раз на 1350 спинов, что соответствует нескольким часам игры - событие отнюдь не невероятное! Но главная ошибка мартингейльщиков в том, что их стратегия подразумевает, будто после выпадния 8 красных, девятый раз красное выпасть ну никак не может! Но это не так, вероятность выпадения красного не изменится! И девятый раз оно выпадет с вероятностью 18/37 - не больше, не меньше. Поэтому те кто ждут выпадения пяти одного цвета и потом начинают ставить, просто замедляют игру, не более того. Прошлые выпадения никак не влияют на выпадения будущие. Вы не должны учитывать их в своих вычислениях вероятности! Учитывая лимиты стола, мартингейльщик обычно может сделать около 8 ставок (1,2,4,8,16,32,64,100 - лимит стола), причём ему опасны не только числа не того цвета, но и зеро. Скажем, игрок ставит на чёрное, при этом красное или зеро выпадает с вероятность 19/37. Вероятность, что красное или зеро выпадет девять раз подряд и обанкротит игрока равна (19/37)^9=0,00248=1/402. Как видите, игрок по мартингейлу в среднем будет проигрываться каждые 400 спинов. Аналогично легко можно посчитать вероятность того, что несколько раз подряд выпадет (или не выпадет) определённая дюжина, сикслайн, число и т.д. Например, вероятность того, что зеро (или любое другое число) не выпадет на 100 спинах. Это значит, что эти 100 спинов будут выпадать другие 36 чисел, вероятность этого - (36/37)^100=6,5%=1/15 - вообще довольно частое событие.

То что мы считали выше - это доопытная или априорная вероятность, то есть теоретические цифры и значения, к которым практика будет стремиться на очень большом количестве спинов. На практике у нас обычно нет этого огромного количества спинов, средняя часовая сессия игры будет содержать порядка лишь 100 спинов. Если за это время выпало 10 красных подряд (вероятность этого события, как мы знаем, составляет 1 к 1347) - будет ли это значить, что казино мошенничает? Ведь мы сделали лишь 100 спинов, а случилось событие, которое должно быть раз на 1350. Но вероятность 1 к 1347 не означает, что эта последовательность выпадет ровно через 1340 спинов. Скорее это означает, что если вы сделаете 100 тыс. спинов, то 10 одного цвета выпадет около 74 раз. Но случиться это теоретически может и в первый десяти спинах, а потом 2000 спинов не повторится - случайность, она такая, случайная :). Но получается, что случайностью или точнее сказать - дисперсией можно объяснить любые события? Выпало за 10 спинов 5 зеро - это ведь теоретически возможно? Действительно, возможно, только вероятность настолько мала, что если вы это встретите в реальной ситуации, то лучше бежать из такого казино с навешиванием ярлыка "мошенники". Но давайте перейдём от каких-то абстрактных рассуждений к языку цифр.

Вам поможет формула Бернулли, позволяющая оценить вероятность того, что при N испытаниях с вероятностью успеха p количество успехов будет равно n. Выглядит эта формула так: P=p^n*(1-p)^(N-n)*N!/n!/(N-n)! Формула довольно навёрнутая и при довольно больших числах при попытке считать в лоб просто не хватит разрядности калькулятора или компьютера. К счастью, если вы используете Excel, то там есть функция БИНОМРАСП, которая позволяет быстро вычислять соответствующие вероятности. Рассмотри пример: за 100 спинов (N испытаний) выпало 5 зеро (n успехов), вероятность выпадения - 1/37 (вероятность успеха p). Подставляем в формулу или лучше используем БИНОМРАСП в Экселе (параметр "Интегральная" устанавливаем "ложь"), получим вероятность выпадения 5 зеро за 100 спинов равна 8%, что немало. Обратите внимание, это вероятность, что зеро выпадет ровно 5 раз! Но оно может выпасть 6 раз с вероятностью 3%, 7 раз - 1,3% и т.д. Если мы хотим узнать вероятность выпадения пять или более раз, то мы должны суммировать эти вероятности или удобнее в Экселе сосчитать по формуле 1-БИНОМРАСП(4;100;1/37;ИСТИНА)=13,5% (вероятность события противоположного выпадению зеро 4 или менее раз). Ну или вот наш указанный выше случай, когда за 100 спинов (N испытаний) выпало 10 красных подряд (n успехов), вероятность выпадения - 1/1347 (вероятность успеха p), по формуле БИНОМРАСП(1;100;1/1347;ЛОЖЬ)=6,9% - тоже вполне себе не исключено. Даже два раза по 10 красных вполне возможно - 0,2%, а вот три серии уже имеют вероятность 0,006% - я бы сказал, что если вам встретится событие с вероятностью 10-5 и меньше, то подобное заведение лучше избегать! При вероятностях ниже 1% (особенно если они повторяются больше одного раза) надо начать подозревать... Но вообще, если вы воспользуетесь указанной формулой, то убедитесь, что 99,9% всех жалоб на "невероятные события" на самом деле более чем укладывается в теорию вероятности и от "невероятности" стоят очень далеко.

Другая популярная игра, особенно среди тех, кто стремится к максимально выгодной игре - блэкджек. Давайте посмотрим, как можно посчитать некоторые вероятности в блэкжеке, например, почему никогда не надо брать страховку. Напомню, что если у дилера открыт туз, то игрок может сделать дополнительную ставку, застраховав себя от блэкджека дилера. Если у дилера будет блэкджек, то игрок получит выплаты 2 к 1. Давайте посчитаем... Предположим, что игра идёт на одной колоде, дилер показывает туза, а у вас на руках две мелких карты. В этом случае неизвестными остаётся 49 карт, из которых десятки, валеты, дамы и короли (всего 16 штук) дадут дилеру блэкджек. Матожидание ставки на страховку посчитать несложно, вы выигрываете две ставки в 16 случаях и проигрываете одну в 49-16=33 случаях. МО = (16*2-33*1)/49=-2%, что гораздо больше, чем стандартные -0,5%. Причём я взял оптимальный вариант, когда у вас на руках две фоски, а если у вас будет одна десятка, то МО возрастёт до (15*2-34)/49=-4%. Можете сами прикинуть, что будет при большем количестве колод. Хотя теоретически страховка может стать выгодной, когда из колоды выйдет много мелочи, но это можно узнать, только если считать карты.

Раз уж заговорили о блэкджеке, давайте посчитаем вероятность его получения. Чтобы получился блэкджек, игрок (или дилер, без разницы) должен получить сначала десятиочковую карту, затем туза. Вероятность получить десятиочковую карту: 16/52, а получить туза после этого - 4/51 (для большего количества колод будет немного отличаться, например, для двух - 8/103). Вероятность получить обе карты, соответственно 16/52*4/51=2,41%. Но нас устроит также вариант, когда мы первой картой получим туза, а второй - десятку. Можете убедиться, что вероятность этого события такая же, а значит полная вероятность получить блэкджек равна 2*2,41=4,82% или примерно 1 раз из 21.

Вы, наверное, видели разновидности блэкджека с побочными ставками. Зная основы теории вероятности, довольно просто вычисляется матожидание различных побочных ставок. Например, в казино Микрогейминга есть Bonus Blackjack, где игрок делает дополнительную ставку, которая оплачивается 5 к 2 при выпадении двух карт одной масти, 25 к 1 при выпадении валет-туз одной масти и 50 к 1, если валет-туз пиковые (именно эта комбинация когда-то и дала название игре black jack). Мы выше считали вероятность получить блэкджек, аналогично вероятность получить пиковых валета и туза равна 1/52*1/51*2=0,075%. Вероятность получить одномастных валет-туз (кроме пиковых) будет в три раза выше - 0,226%. Вероятность получить любые две одномастные карты равна 1*12/51=23,53% (первая карта может быть любой масти, вторая - той же самой, в колоде остаётся 12 карт той же масти из 51). В итоге матожидание данной побочной ставки: (23,53-0,075*4)*5/2+0,226*25+0,075*50-(100-23,53)=-9% (в первой скобке вычитается 0,075*4, так как туз-валет одномастные вам дважды оплачиваться не будут, а они включены в вероятность получить любые две одномастные карты). Как видите, данная ставка весьма минусовая, да и вообще побочные ставки обычно делают для выгоды казино, а никак не игрока, имейте это в виду.

Выше мы рассматривали довольно простые с точки зрения расчётов варианты, для которых достаточно калькулятора, ну максимум - Экселя. Однако в многих играх, в первую очередь карточных, математика настолько сложна, что посчитать «вручную» матожидание и многие другие вероятности просто невозможно. Поэтому в играх типа баккара, блэкджек, покеры используется одинаковый способ анализа - компьютерная симуляция. Рассмотрим, например, баккара. Игра сама по себе проста - там жёсткие правила, в онлайн версиях игроку не надо принимать решения, всё делается за него. С этой точки зрения игра близка к рулетке, но рассчитать матожидание нелегко - большое количество вариантов выпадения карт создаст огромные разветвлённые формулы. Гораздо проще составить небольшую программку, которая будет перебирать различные комбинации карт и фиксировать результат. В компьютерной симуляции есть два основных способа расчёта - полный перебор вариантов и метод Монте-Карло. Как следует из первого названия, программа перебирает все возможные состояния колоды, считая для каждого варианта итог. Второй метод с игорным названием подразумевает многократную симуляцию случайных состояний колоды. Первый способ более точный, он даст в итоге идеальный результат. Однако при восьми колодах, например, симуляция может занять очень немалое время (хотя, на самом деле в той же баккара всю колоду не обязательно создавать, достаточно первые шесть карт). Второй способ даёт менее точные результаты, но позволяет быстренько прогнать, например, несколько миллионов симуляций, и в течение нескольких секунд получить приемлемый по точности результат. В такой игре как баккара в принципе интересен только процент выплат. Прокрутив возможные комбинации, находим общее количество выигрышей банкира, игрока, а также ничьих. Дальше уже простая арифметика для нахождения процента выплат. Например, посчитаем процент выплат для ставки на банкира: для одной колоды ставка на банк выигрывает в 6737232640 сдачах, получая 0,95 от ставки, на игрока выигрывает 6548674432, и вы теряете 1 ставку, ничья в 1372227328 - ставка возвращается, итог нулевой. Итого матожидание игры: (6737232640*0,95-6548674432*1+1372227328*0)/(6737232640+6548674432+1372227328)=-0,01012=-1,01%. При желании легко по этим же цифрам рассчитаете выплаты ставок на игрока и ничью.

В случае блэкджека ситуация чуть более хитрая. Там игрок принимает решение, соответственно, процент выплат будет зависеть от этих самых решений. С другой стороны, одновременно для игрока стоит задачи оптимизировать свою игру, принимать наиболее верные решения. Здесь процесс идёт двухступенчатый. Сначала идёт анализ каждой возможной комбинации очков игрока против всех возможных карт дилера. Например, у игрока 15 очков, у дилера на руках 8, прогоняем все возможные варианты дальнейшего развития событий в двух вариантах - игрок прикупает и игрок не прикупает (здесь можно пользоваться методом Монте-Карло, полный перебор не нужен). Получаем, что матожидание выше у варианта, когда игрок прикупает. Значит оптимальным вариантом действия с 15 очками игрока против 8 дилера будет прикупать. Таким образом формируется базовая стратегия (с учётом "мягких" рук, возможности удвоения и сплита, а также сарренды и прочей специфики правил, если есть). После этого начинаем с начала, берём метод полного перебора, раздаём карты, игрок действует тем самым оптимальным образом, как мы определили ранее. Считаем все возможные варианты выигрышей и проигрышей, умножаем суммы (в отличие от баккара они могут быть разнообразные - удвоения, сплиты, их сочетания, блэкджек) на количество случаев, складываем и делим на общее количество сдач. В итоге для наиболее частого набора правил получаем выплаты 99,56%.

Компьютерная симуляция помогает во многих играх, практически все карточные игры (из-за большого количества вариантов) считаются только на компьютере, к счастью, самостоятельно расчёты делать не надо, в большинстве случаев (кроме самых новых игр) это уже сделано за вас, остаётся только найти и воспользоваться. Аналогично компьютерная симуляция проводится и в покерных играх. Но некоторые вероятности там можно посчитать и ручками.

Для примера давайте рассмотрим базовую стратегию видеопокера «Валеты и выше». Она говорит, что надо всегда удерживать карты от фула и выше. В этом случае вы получаете от 9 монет, улучшиться не можете. На втором месте по ценности идёт 4 карты к роял-флэшу. Давайте оценим ценность этой комбинации. Мы знаем 5 карт из 52, поможет нам одна из 47 оставшихся. Шансы на улучшение 1/47, так что на дистанции получим в среднем 800/47=17 монет. То есть даже больше, чем за фул-хаус, но 4 к роялю можно поставить и ниже, так как нельзя получить фул и эту комбинацию одновременно. А вот за стрит-флэш (который также может содержать 4 карты к роялю) дают уже 50 монет, так что его разбивать смысла нет. Только следом идут готовые стриты и флэши (плюс тройка), которые как раз могут содержать и 4 карты к роялю, но я выплаты за готовую комбинацию тут меньше, чем матожидание рояля, поэтому их стоит разбивать. Дальше 4 карты к стрит-флэшу. Стрит-флэш может помочь составить одна (если у вас 4578 в масть) или две (при 4567) карты. Таким образом, ценность 4 карт к стрит-флэшу равна 50*1/47=1,06 или 50*2/47=2,1. Правда, ещё 6-7 карт помогут вам улучшиться до флэша, что даст вам дополнительные шансы и выплаты. Дальше идут две пары. Они гарантируют 2 монеты, плюс вы можете улучшиться до фула. Помогут вам в этом 4 карты, значит в 43/47 случаев мы не улучшимся и получим 2 монеты, а в 4/47 улучшимся до фула, общая ценность двух пар 43/47*2+4/47*9=2,596 монет. Дальше, с одной парой и тем более непарными картами анализ становится очень сложным, тут уже без компьютера не обойтись.

Эти вероятности улучшения особенно интересны игрокам в клубный покер, фактически вся математика игры на этом строится. Но тут об этом рассказывать не буду, желающих узнать больше отошлю к соответствующей подробной статье. Хотя есть актуальные примеры и в покере против казино, например, в русском покере, где за одно анте можно заменить карту. Прикинем, в каком случае стоит делать обмен. Например, у вас нет комбинации и вы хотите обменять одну карту (заплатив за это одно анте). Предположим, что возможности получить стрит или флэш у вас нет, вы можете надеяться только на пару. У вас четыре карты, вас устроит приход второй к любой из них. В колоде 3*4=12 нужных вам карт (считаем, что открытая карта дилера с вашей не совпадает, а если совпадает, то именно эту карту вы можете и обменять). Значит вероятность улучшиться до пары - 12/46=26%. Даже если вы выиграете с парой, то получите максимум 3 анте (а на самом деле чуть не в половине случаев дилер не квалифицируется, и вы получите 1 анте, а ещё нередко он вас обыграет и вы потеряете анте за обмен и два анте за продолжение игры, но это уже вопрос компьютерной симуляции). Получается, вы рискуете 1 анте, за максимальный выигрыш в 3 анте с вероятность 26%. Это будет -1+3*0,26=-0,22 - явно невыгодное вам действие. Теперь представим, что у вас флэш-дро, и вы хотите поменять карту в надежде улучшиться до флэша. Если карта дилера не вашей масти, то вероятность этого события 9/46=0,195. Если вы не улучшитесь, то сбрасываетесь (для простоты про возможность получить пару забудем), потеряв 1 анте на обмене. Если улучшились - делаете ставку. Дальше примерно в 46% случаев дилер не квалифицируется и вы выиграете лишь 1 ставку. В 54% случаев дилер квалифицируется и проиграет (вероятность его выигрыша меньше 1%, для простоты не будем учитывать), мы получим 1 анте плюс 5 к 1 на ставку, то есть итого 11 анте. Итак, общее матожидание обмена с флэш-дро -1*(1-0,195)+0,195*(0,46*1+0,54*11)=+0,443. На самом деле, в покере с обменов выгодно менять карту, только имея флэш-дро или двухсторонний стрит-дро, вот эту стратегию игры можно рассчитать именно таким способом.

Вообще в карточных играх, особенно покерах, часто используются формулы комбинаторики. Они упоминались в предыдущей статье, но повторю ещё раз:

Перестановки. Например, у вас есть пять карт от валета до туза одной масти. Сколькими способами вы сможете составить роял флэш? Имеется в виду, что мы можете менять порядок карт, сначала АКQJT, AKQTJ и так далее до TJQKА. Подобные задачи и решаются при помощи функции перестановки. Число перестановок n элементов считается как n! (n факториал - произведение всех целых чисел от 1 до n). В нашем случае пять карт дают нам 5!=5*4*3*2*1=120 вариантов перестановки карт, каждая из которых даёт различный роял флэш.
Используя функцию перестановки можно посчитать, например, количество возможных перетасовок колоды карт. В колоде 52 карты, значит возможно 52! разных тасовок (последовательностей карт в колоде). Перемножать такие числа неудобно, в Экселе для этого есть специальная функция ФАКТР, которая даст нам результат 8*1067 - то есть ну очень много :).

Размещения. Попробуем теперь найти, сколько различных уникальных комбинаций можно получить, бросая два кубика. То есть это будет 1-1,1-2, 2-1, 2-2, 2-3 и т.д. до 6-6. Такие задачи решаются при помощи функции размещения. Размещения по n элементов из множества m считается как m!/(m-n)! В нашем случае это 6!/(6-2)!=6!/4!=5*6=30. Действительно, всего 30 уникальных комбинаций, так как из полного числа комбинаций 6*6=36 вычитаем шесть повторяющихся комбинаций-дублей. Опять же, на крупных числах вручную считать неудобно, поэтому можно воспользоваться Эксель функцией ПЕРЕСТ. Кстати сказать, собственно перестановки являются частным случаем размещений, когда n=m (по правилам математики 0!=1).

Сочетания. Давайте найдём, сколько всего можно получить пятикарточных покерных комбинаций (тут нас уже перестановки не интересуют, и АААА2 то же самое, что и АА2АА) из полной колоды карт. Здесь используется формула сочетаний без повторений. Сочетания n элементов из множества m считается как m!/n!/(m-n)! В нашем случае это 52!/5!/(52-5)!=2598560. И снова лучше считать в Экселе при помощи функции ЧИСЛКОМБ. Хотя сочетания редко используются напрямую в играх, но часто используются отношения сочетаний для расчёта различных вероятностей в покере.

Зная формулы, давайте решим несколько практических задач, которые могут возникать в покере:

1. Какая вероятность собрать роял флэш в покере с семи карт (например, холдем или семикарточный стад)? Общее количество семикарточных комбинаций - сочетания из 52 по 7. Роял флэш - это пять определённых карт и две остальные - любые, таких комбинаций будет - сочетания из 47 по 2 (то есть просто сочетания по две карты из оставшихся от рояля 47). Всего у нас 4 роял флэша по числу мастей, соответственно, вероятность собрать рояль равна (здесь и далее формулы Экселя): 4*ЧИСЛКОМБ(47;2)/ЧИСЛКОМБ(52;7)=0,000032 или 1 к 30940.

2. Какова вероятность собрать каре в пятикарточном покере? Общее количество пятикарточных комбинаций - сочетания из 52 по 5. Каре - это четыре одинаковых карты, и пятая любая. Соответственно, по пятой карте получает комбинации из 48 по 1 (ну или просто 48), а всего у нас 13 различных номиналов карт, то есть всего 13 видов каре. В итоге вероятность получается: =13*ЧИСЛКОМБ(48;1)/ЧИСЛКОМБ(52;5)=0,00024 или 1 к 4165. Кстати, эту задачу, как и многие другие, можно решать и не через формулы комбинаторики, а просто исходя из вероятностей. Так в случае каре первая карта может быть любая. Тогда вторая должна быть того же номинала, их остаётся 3 из 51. Третья уже с вероятностью 2/50 и четвёртая - 1/49. Пятая карта может быть любой из оставшихся (вероятность =1). Всего возможно 5 различных перестановок (только одна карта у нас случайная), получаем 3/51*2/50*1/49*5 или всё те же 1 к 4165.

3. Какова вероятность собрать флэш в пяти- и семи-карточном покере? Общее количество комбинаций мы уже знаем - сочетания из 52 по 5 или 7 соответственно. Флэш - это любые пять карт одной масти, то есть сочетания из 13 по 5, всего флэши возможны в четырёх мастях. В пятикарточном покере флэши занимают все комбинации, в семикарточном остаётся ещё две любые карты, которые как и в примере с роял флэшем считаются как сочетания из 47 по 2. Ну и дальше уже привычные формулы, для пятикарточного покера - 4*ЧИСЛКОМБ(13;5)/ЧИСЛКОМБ(52;5)=0,002 или 1 к 505, для семикарточного - 4*ЧИСЛКОМБ(13;5)*ЧИСЛКОМБ(47;2)/ЧИСЛКОМБ(52;7)=0,042 или 1 к 24 (если вы помните, одномастные карманки в холдеме дают шанс на флэш порядка 4%, вот оно примерно и есть, хотя там правильнее найти вероятность получить три карты конкретной масти из пяти стола - ЧИСЛКОМБ(11;3)*ЧИСЛКОМБ(47;2)/ЧИСЛКОМБ(52;5)=6,8%). Ну на самом деле, указанные формулы включают в себя и стрит и роял флэши, так что по хорошему их надо вычесть. Если помните, роял флэшей в пятикарточном покере 4, стрит-флэшей в 9 раз больше, то есть 36, и всего 40. Для семикарточного можете посчитать сами, исходя из первого примера.

4. Какова вероятность получить комбинацию пара в пятикарточном покере? Тут всё не так просто, как было раньше. Нам не просто нужны две одинаковых карты, нам ещё надо, чтобы три оставшиеся не повторяли ни нашу пару, ни друг друга (тогда получим сет, фул, каре или две парты). То есть в принципе можно найти вероятность как минимум двух одинаковых карт и повычитать вероятности вышеуказанных комбинаций, но мы пойдём другим путём. Итак, наши пять карт должны состоять из пары и трёх других карт, отличных и от пары и между собой. Всего у нас 13 номиналов карт, то есть 13 возможных пар, из 4 карт номинала пару можно выбрать сочетанием из 4 по 2 способами. Оставшиеся три карты должны быть каждая разного номинала и отличные от нашей пары. Их номиналы можно выбрать сочетанием из 12 по 3 способами. Эти три карты могут быть любой масти, всего мастей 4, соответственно, всего вариантов любых мастей у трёх карт будет 4^3. Итоговая формула - 13*ЧИСЛКОМБ(4;2)*ЧИСЛКОМБ(12;3)*СТЕПЕНЬ(4;3)/ЧИСЛКОМБ(52;5)=0,42 или 1 к 2,4. В семикарточном покере посчитать будет ещё сложнее, там надо также учитывать возможности построения флэша или стрита, так что может быть будет действительно проще сосчитать все более высокие комбинации и затем их повычитать.

Получилось много текста и математики. Можно читать по кускам, кому что интересно и полезно. Но ещё раз повторю: знание математики - ключ к успеху в игре! Так что не жалейте времени на изучение, это окупится!

 

Автор: Шероков Юрий. Ваш покорный слуга, также автор большей части сайта «Казино Онлайн» ;).